中國近代革命志士秋瑾曾經寫下這樣的詩句：“拼將十萬頭顱血，須把乾坤力挽回。”類似的還有陳毅元帥當年的“此去泉臺招舊部，旌旗十萬斬閻羅”。文科生會說這抒發了豪情，理科生會問：拼將十萬頭顱，就一定能把乾坤挽回么？——這里的“十萬”當然不是一個確數，但提出了一個有趣的問題——人數的優勢究竟在戰爭中占據什么樣的地位？

我們拋棄一切歷史和時代的背景，來單純地想象一場陣地戰：假定紅方與藍方（這里的紅方與藍方沒有特指，也無褒貶）都沒有飛機大炮，只使用同樣的步兵武器，掩體堅固程度等客觀條件也差不多，且均在對方有效射程之內；紅方不存在百發百中的神槍手，藍方也沒有沒放過槍的新兵蛋子。總之一句話，就是雙方半斤對八兩。唯一不同的是兵員數量——紅方有5,000人，藍方4,000人，紅方比藍方整多出1,000人。雙方開打了，槍林彈雨，如此你來我往地掐將下去，誰也不投降、不逃跑，最終結果會如何呢？由于紅方有“微弱”的數量優勢，藍方終將以被全殲而慘敗，這是比較合理的結果。我的問題是，此時“慘勝”的紅方還能剩下多少人呢？對方既已全軍盡沒，損失當然是4,000人，紅方是不是也一定付出了相同的代價呢？

1914年，英國有個叫做蘭切斯特（F. W. Lanchester）的，對類似的問題進行過研究。他本人其實是個汽車工程師，然而使他青史留名的成就卻和汽車沒什么關系，而是蘭切斯特戰斗方程。

蘭切斯特的理論基于這樣一個假設：雙方在任一瞬間的戰斗損耗與對方此時的兵力成正比。如甲方兵力為x，乙方兵力為y，有如下微分方程①：

dx/dt=-ay,

dy/dt=-bx.

t表示時間；a、b均為比例常數，它們與雙方的武器效能及掩體等因素有關。簡潔而優美的方程揭示了這樣一個規律：交戰一方的有效戰斗力，正比于其戰斗單位數（戰斗單位，一般可以理解為參戰兵員數）的平方與每一戰斗單位平均戰斗力（可以理解為單位時間內消滅對方兵員的能力）的乘積，即所謂蘭切斯特平方律（還有一個類型就是蘭切斯特線性律，它適用于遠距離戰斗，在此略過不提）。

如甲乙雙方初始兵力為x0、y0，戰斗持續過程中任意瞬間的兵力由x（t）、y(t)表示（為簡化計，假定雙方實力相同，即a = b，可將“每一戰斗單位平均戰斗力”略去），則很容易推導出如下等式②：

x02 – y02 = x(t)2 – y(t)2

也就是說，只要戰前有x0 > y0，戰局的必然結果就是乙方被全殲，即y最終變為0，甲方剩余人數當然就是x = sqrt(x02-y02)（sqrt為取平方根）。

由此，蘭切斯特方程第一次以定量的方式論證了“集中優勢兵力打殲滅戰”的正確性。蘭切斯特采用下述例子說明平方律符合集中優勢兵力的作戰原則：“如果甲方1,000人與乙方1,000人交戰，雙方單個戰斗單位的平均戰斗力相同，但甲方被乙方分割成各500人的兩半。假定乙方先以1,000人攻擊甲方的500人，則乙方將以損失134人的代價全殲甲方的一半；接著乙方以剩下的866人再全殲甲方的另一半，甲方在這兩次戰斗中將總共損失293人。”——我們的毛主席就是運用這一戰法的大師。

再回到開始的假設：紅藍雙方實力不相上下，即a = b；由等式②可以計算出，紅方在將藍方趕盡殺絕之后，還能剩下sqrt(5,0002-4,0002) = 3,000人，而不是1,000人，紅方的數量優勢導致其損失遠低于藍方。而藍方要想把紅方放倒，就必須采用某種方法分割紅方，以圖在局部取得數量優勢。

當然，實際情況要比簡化條件錯綜復雜得多，不談硬件如何，僅僅是無形的士氣就足以影響甚至決定戰局。但是，大量的事實證明，蘭切斯特方程具有很強的參考價值；尤其是一些局部戰斗的結果，更可能與之契合。假如一個黑幫老大被別人搶了地盤，他惱羞成怒，打算和對手在一個空曠的廢棄廠房或者倉庫（電影里都這么干）里一決勝負。孫子曰：“夫未戰而廟算勝者，得算多也；未戰而廟算不勝者，得算少也”，所以 火拼之前，不妨先拿蘭切斯特方程算一算。假如對方用槍榴彈你用半自動，武器效能是你的整4倍（此時的比例常數a、b不再相等了）；根據蘭切斯特平方律，你帶過去的小嘍羅數量至少得對方的2倍，才可以抵消對方的火力優勢——也就是說，十萬頭顱是否夠用，得看雙方的所有因素對比，不能只看人數。

文/木舟子 來源：科學公園

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